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高考数学从易到难复查
§§ 1000
+高考数学从易到难复习
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+一、证明题
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+1、二项式定理的形式证明
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+证明：（把r换成n-r）
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+ 已知：C(n,r)= C(n,n-r)
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+ 根据二项式定理：
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+ C(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1) / r!
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+ C(n,n-r)=n(n-1)(n-2)...(n-n+1+r) / (n-r)!
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+ 于是，
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+ n(n-1)(n-2)...(n-r+1)=(n-r)(n-1)(n-2)...(n-n+1+r)
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+ （n-r）r!=(n-r)!
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+ 故极端C(n,r) = C(n,n-r)即得证。
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+2、简单数学归纳法证明
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+证明：
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+P(n)：(x+y)^n = x^n + \sum_{k=1}^{n} C(n,k)x^{n-k}y^k
+
+1） 当 n=1 时，我们可以得到 (x+y)^1=x^1+C(1,1)x^0y^1=x^1+y^1，即P(1) 成立。
+
+2）当 n=k 时，P(k)式子两边同时乘以(x+y)，则有：
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+(x+y)^{k+1}=x^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}C(k,i)x^{k-i}y^{i}(x+y)
+
+=x^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}C(k,i)x^{k-i}y^{i+1}+\sum_{i=1}^{k}C(k,i)x^{k+1-i}y^{i}
+
+=x^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}C(k,i)[x^{k-i}y^{i+1}+x^{k+1-i}y^{i}]
+
+=x^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}C(k,i)x^{k+1-i}y^{i}+\sum_{i=1}^{k}C(k,i)x^{k-i}y^{i+1}
+
+=x^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}C(k,i)x^{k+1-i}y^{i}+\sum_{i=2}^{k+1}C(k,i-1)x^{k+1-i}y^{i}（由于C(k,i-1)=C(k,i)，即可将下标i替换为i-1）
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+=x^{k+1}+ \sum_{i=1}^{k+1} C(k+1,i)x^{k+1-i}y^i（即P(k+1)式子）
+
+至此，P(k)已被P(k+1)所推导，当 n=k 时，P(k)成立，即通过简单数学归纳法，P(n)公式总是成立，证明完毕。
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