高三二轮数学专题

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高三数学二轮复习问题二：

1. 利用反证法证明：若正数a、b、c满足$a^2 - c^2 = 0 $ ，则a = c

证明：设$ a ≠ c$，则有a>c或c>a

若a>c，则有$a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)> 0$

若c>a，则有$a^2 - c^2 = (c - a)(c + a)< 0$

两种情况都与题设$ a^2 - c^2 = 0$ 矛盾，即得证。

2. 用数学归纳法证明：若正整数n≥4，且在n个数中每两个数之差的绝对值不超过2，则这n个数中至少存在两个相等的数

假设：n=4时，有4个数a,b,c,d满足每两个数之差的绝对值不超过2

分析：a,b,c,d有3种排列方式：

① $a ≤ b ≤ c ≤ d$，有$d-a≤2$ 当a=b=c=d时，a,b,c,d至少存在两个相等数；

② $a ≤ c ≤ b ≤ d$，有$d-a≤2 $ 同样为a=b=c=d时，a,b,c,d至少存在两个相等数；

③ $a ≤ d ≤ b ≤ c$，有$c-a≤2$ 同样为a=b=c=d时，a,b,c,d至少存在两个相等数；

综上，n=4时，上述条件成立。

假设：n=k时，有k个数满足前述条件，

证明：将k+1个数任取一个(令其为a)，则剩下的k个数都满足$d-a≤2$，

即满足n=k时的情况，

由刚才的证明可知，剩下的k个数至少存在两个相等的数，

即原来的n+1 个数，至少存在两个相等的数。

由归纳法，n ≥ 4时，在n个数中每两个数之差的绝对值不超过2，这n个数中至少存在两个相等的数，得证。