三角函数万能公式推导(三角函数万能公式)

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三角函数万能公式推导

（1）cosθ-cosα=2sin${(\theta+\alpha)\over 2}\cdot sin{(\theta-\alpha)\over2}$

（2）sinθ+sinα=2sin${(\theta+\alpha)\over 2}\cdot cos{(\theta-\alpha)\over2}$

（3）cosθ+cosα=2cos${(\theta+\alpha)\over 2}\cdot cos{(\theta-\alpha)\over2}$

（4）sinθ-sinα=2cos${(\theta+\alpha)\over 2}\cdot sin{(\theta-\alpha)\over2}$

证:

推（1）

根据提琴定理可得：

$\begin{align}&\cos{\theta+\alpha\over 2}\cdot \cos{\theta-\alpha\over2}\!-\sin{\theta+\alpha\over2}\cdot \sin{\theta-\alpha\over2}=\cos{\theta}\\&\sin{\theta+\alpha\over2}\cdot \cos{\theta-\alpha\over2}+\cos{\theta+\alpha\over2}\cdot \sin{\theta-\alpha\over2}=\sin{\theta}\end{align}$

两边同时乘以 $\frac12$，得

$\begin{align}\cos{\theta+\alpha\over2}\cdot & \cos{\theta-\alpha\over2}\!-\!\frac12\sin{\theta+\alpha\over2}\cdot \sin{\theta-\alpha\over2}=\frac12\cos{\theta}\\\frac12\sin{\theta+\alpha\over2}\cdot & \cos{\theta-\alpha\over2}\!+\!\cos{\theta+\alpha\over2}\cdot \sin{\theta-\alpha\over2}=\frac12\sin{\theta}\end{align}$

于是得到

$\begin{align}\cos\theta & -\cos\alpha=2\sin\frac{\theta+\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\theta-\alpha}{2} \\ \sin \theta & +\sin \alpha=2\sin\frac{\theta+\alpha}{2}\cdot \cos\frac{\theta-\alpha}{2}\end{align}$

另外，互为余弦的两角所对应的正弦也是互反的，即

$\sin \theta - \sin \alpha = -( \sin \alpha - \sin \theta )$

由（2）可得

$\cos \theta + \cos \alpha = 2\sin\frac{\theta+\alpha}{2}\cdot \cos\frac{\theta-\alpha}{2}$

两边同乘以 $-1$，得

$\cos \theta + \cos \alpha = -2\sin\frac{\theta+\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\theta-\alpha}{2}$

将 $ -2\sin\frac{\theta+\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\theta-\alpha}{2}$ 代入即得（4）式，证毕。